جهان ما دارای سه بعد مکان و یک بعد زمان است. سه بعد فضایی مختلف، اطلاعات ارتباطی در مورد فضا را مبهم می کند.

اطلاعات مربوط به سه بعد فضا علاوه بر اندازه به جهت نیز نیاز دارد. جفت شدن جهت و اندازه را بردار می گویند.

مثلا اگر بگویم "با دوچرخه 10 کیلومتر برای رسیدن به فروشگاه برو" باز هم نمی توانید فروشگاه را پیدا کنید زیرا مسیر را نمی دانید. باید بگویم "با دوچرخه 10 کیلومتر به شمال شرق برو".

نرده ای

نرده ای متغیری است که دارای اندازه است، اما جهتی در فضا ندارد. دما یک نرده ای است. نمی توان گفت 50 درجه سانتی گراد به سمت چپ است.

متغیر	اندازه
فشار هوا	101.3 کیلو پاسکال
درجه حرارت	21 درجه سانتیگراد
قیمت	50 دلار
جرم	10 کیلوگرم
فاصله	3000 متر

برداری →

بردار متغیری است که دارای اندازه و جهت در فضا است . سرعت یک بردار است. می توان گفت سرعت 10 متر بر ثانیه در جهت غرب است.

متغیر	اندازه	جهت
جابه جایی	10 متر	غرب
جابه جایی	5.5 متر	بالا
سرعت	20 متر بر ثانیه	20 درجه بالاتر از محور x
سرعت	3 متر بر ثانیه	10 تا مانده
شتاب	9.8 متر بر ثانیه	↓

برداري مانند هيپوتنوز مثلث قائم الزاويه را در نظر بگيريد. این باعث می شود دو ضلع دیگر مثلث جزء بردار باشند. اغلب اجزاء افقی و عمودی هستند، اما لازم نیست که باشند.

می توانیم از قضیه فیثاغورث برای حل بزرگی اضلاع استفاده کنیم.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

مثال: شما 3 مایل شمال و سپس 4 مایل به غرب راه می روید. چقدر با محل شروع خود فاصله دارید؟

راه حل

a^{2}+b^{2} = c^{2}

3^{2}+4^{2} = c^{2}

25 = c^{2}

5 \, \mathrm{miles} = c

بردارها و زوایا

ما می‌توانیم از توابع trig (SOH-CAH-TOA) برای یافتن چگونگی ارتباط اجزای بردار با زاویه بردار استفاده کنیم.

گناه θ = \frac{o پ پ}{ساعت y پ}

\cos \theta = \frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}

\tan \theta = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{adj}}

برای بردار سرعت، هیپوتانوس v است. اضلاع مجاور و مخالف مثلث، قسمت x و y v است.

v_{x} = v\،\cos \theta

v_{y} = v\،\sin \theta

برای جابجایی معادلات یکسان است

x = d\،\cos \تتا

y = d\،\sin \ تتا

در شبیه سازی زیر، ماوس را روی قدر 250 و زاویه 14 درجه قرار دهید. اجزای x و y بردار کدامند؟

قدر و جزء x در چه زوایایی با هم برابرند؟

علامت منفی برای یک بردار به چه معناست؟

مثال: هواپیما با زاویه 14 درجه بالاتر از افق بلند می شود. اگر هواپیما با سرعت 250 متر بر ثانیه در حال حرکت باشد با چه سرعتی فقط در جهت عمودی حرکت می کند؟

راه حل

v_{y} = (v) \sin \theta

v_{y} = (250 \, \mathrm{\tfrac{m}{s}}) \sin(14 \درجه)

v_{y} = 61 \mathrm{\tfrac{m}{s}}

مثال: می‌خواهید به نزدیک‌ترین ورزشگاه پوکمون بروید. قطب نما روی تلفن شما می گوید که باید به سمت شمال شرقی راه بروید. بعد از 75 متر پیاده روی به باشگاه می رسید. متأسفانه متوجه شدید که باید سطح 5 باشید، اما سطح 3 هستید. چقدر به سمت شمال راه رفتید؟

راه حل

شمال شرقی زاویه 45 درجه به سمت شمال است.

d_\mathrm{شمال} = d \cos \theta

d_\mathrm{شمال} = (75 \, \mathrm{m}) \cos(45 \درجه)

d_\mathrm{شمال} = 53 \, \mathrm{m}